Entscheidung zur linearen Abhängigkeit / linearen Unabhängigkeit über

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems nach der CRAMERschen Regel

Allgemein gilt nachfolgende Definition:

Die Vektoren a₁; a₂; ... a_k heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung

r₁a₁ + r₂a₂ + ... + r_ka_k = o

in den Variablen r₁ ; r₂ ;...; r_k nur für r₁ = r₂ =...= r_k = 0

erfüllt ist, andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

Schlussfolgerung für alle Vektoren des Anschauungsraumes V₃

( mit höchstens 3 linear abhängigen Vektoren )

Es ist stets die Gleichung

r₁a₁ + r₂a₂ + r₃a₃ = o

über ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

Wegen der rechten Seiten = 0 folgt mit der CRAMERschen Regel

sofort:

r₁ = r₂ = r₃ = 0/D = 0

Also:

Genau eine Lösung existiert g.d.w. D ¹ 0 d.h. es besteht

lineare Unabhängigkeit.]

Keine Lösung existiert g.d.w. D = 0 d.h. es besteht

lineare Abhängigkeit.

und d Beispiel r_i Î R₀

mit

Untersuche die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit:

(I)	r1	+0r2	+ r3	= 0
(II)	4r1	+2r2	+2r3	= 0
(III)	5r1	+ r2	+3r3	= 0

D = -2 ¹ 0 also: Vektoren sind linear unabhängig.