Lösung eines linearen Gleichungssystems nach der CRAMERschen Regel
1.)Ermittlung
der Koeffizientendeterminante nach der Regel von
SARRUS
Beispiel xi
Î
R0
(I) 4x1 +3x2 +4
x3 =
32 (II) 9x1 -3x2 -3x3 = 6 (III) 3x1 +4x2 +2x3 =
-2
4 3 4 4 3 D =
9 -3 -3 9 -3 3 4 2 3 4 ¯-24 ¯-27 ¯144
+[ 4 ∙ (-3) ∙ 2 ] + [ 3 ∙ (-3) ∙ 3 ] + [
4 ∙ 9 ∙ 4 ] = -24 -27 +144
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36 |
48 |
-54 |
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4 |
3 |
4 |
4 |
3 |
||
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D = |
9 |
-3 |
-3 |
9 |
-3 |
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3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
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-[ 3 ∙ (-3) ∙ 4 ] - [ 4 ∙ (-3) ∙ 4 ] - [ 2 ∙ 9 ∙ 3 ] = 36+48
-54
D
= -24 -27 +144+36+48 -54 = 123
2.)Ermittlung
der Determinante für die erste Variable ( Dx1 )
Nach dem Einsetzen der Spalte der Absolutglieder in die
Spalte für die Koeffizienten
32 3 4 32 3 Dx1= 6 -3 -3 6 -3 -2 4 2 -2 4 ¯-192 ¯18 ¯96
der 1. Variablen x1 ergibt sich
+[ 32 ∙ (-3) ∙ 2 ] + [ 3 ∙ (-3) ∙ (-2) ] + [ 4 ∙ 6 ∙ 4 ] = -192 +18
+96
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-24 |
384 |
-36 |
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32 |
3 |
4 |
32 |
3 |
||
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Dx1= |
6 |
-3 |
-3 |
6 |
-3 |
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-2 |
4 |
2 |
-2 |
4 |
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-[ (-2) ∙ (-3) ∙ 4 ] - [ 4 ∙ (-3) ∙ 32 ] - [ 2 ∙ 6 ∙ 3 ] =
-24+384 -36
Dx1
= -192 +18 +96-24+384 -36=
246
3.) Ermittlung der
Determinante für die zweite Variable ( Dx2 )
Nach dem Einsetzen der Spalte der Absolutglieder in die
Spalte für die Koeffizienten
4 32 4 4 32 Dx2= 9 6 -3 9 6 3 -2 2 3 -2 ¯48 ¯-288 ¯-72
der 2. Variablen x2 ergibt sich
+[ 4 ∙ 6 ∙ 2 ] + [ 23 ∙ (-3) ∙ 3 ] + [
4 ∙ 9 ∙ (-2) ] = 48 -288 -72
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-72 |
-24 |
-576 |
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4 |
32 |
4 |
4 |
32 |
||
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Dx2= |
9 |
6 |
-3 |
9 |
6 |
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3 |
-2 |
2 |
3 |
-2 |
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-[ 3∙ 6 ∙ 4 ] - [ (-2) ∙ (-3) ∙ 4 ] - [ 3 ∙ 6 ∙ 32 ] = -72-24
-576
Dx2 = 48 -288 -72-72-24 -576=
-984
4.) Ermittlung der
Determinante für die dritte Variable ( Dx3 )
Nach dem Einsetzen der Spalte der Absolutglieder in die
Spalte für die Koeffizienten
4 3 32 4 3 Dx3= 9 -3 6 9 -3 3 4 -2 3 4 ¯24 ¯54 ¯1152
der 3. Variablen x3 ergibt sich
+[ 4 ∙ (-3) ∙ (-2) ] + [ 3 ∙ 6 ∙ 3 ] + [ 32 ∙
9 ∙ 4 ] = 24 +54+ 1152
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288 |
-96 |
54 |
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4 |
3 |
32 |
4 |
3 |
||
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Dx3= |
9 |
-3 |
6 |
9 |
-3 |
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3 |
4 |
-2 |
3 |
4 |
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-[ 3∙ (-3) ∙ 32 ] - [ 4 ∙ 6 ∙ 4 ] - [ (-2) ∙ 9 ∙ 3 ] =
288-96+54
Dx3 = 24 +54+ 1152+288-96+54= 1476
Als Lösungsformel für lineare
Gleichungssysteme ( hier mit 3 Variablen ) gilt die:
CRAMERsche
Regel
x1 = D x1 / D ; x2 = D x2 / D und x3 = D x3 / D
Also x1 = 246 / 123 =
2 x2 = -984 / 123 = -8 x3
= 1476 / 123 = 12
(I) 4∙2 +3∙(-8) +4∙12 =
32 (w) (II) 9∙2 -3∙(-8) -3∙12 = 6 (w) (III) 3∙2 +4∙(-8) +2∙12 =
-2 (w)
Probe:
Lösungsmenge
L
== { ( 2 / -8 / 12 ) }
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen
(in Kurzfassung )
Für den Fall Anzahl von
Gleichungen und Variablen stimmt überein gilt
LSG Genau eine Lösung
existiert g.d.w. D ¹ 0
Keine Lösung
existiert ( L = { } ) g.d.w. D = 0 und mindestens ein Dxi
¹ 0
Unendlich viele Lösungen liegen vor g.d.w. D = 0 und
alle Dxi = 0
Beispiel xi
Î
R0
(I) 2x1 +4x2 = 13 (II) 3x1 +6x2 =
19,5
12 2 4 D=
3 6 ¯12
1.)Ermittlung der Koeffizientendeterminante
bei linearen Gleichungssystemen mit 2 Variablen
+[ 2∙ 6 ] -[ 3 ∙ 4 ] =
0
2.)Ermittlung
der Determinante für die erste Variable ( Dx1 )
Nach dem Einsetzen der Spalte der Absolutglieder in die
Spalte für die Koeffizienten
78 13 4 Dx1= 19,5 6 ¯78
der 1. Variablen x1 ergibt sich
+[ 13∙ 6 ] -[ 19,5 ∙ 4 ] =
0
3.)Ermittlung der Determinante für die
zweite Variable ( Dx2 )
Nach dem Einsetzen der Spalte der Absolutglieder in die
Spalte für die Koeffizienten
39 2 13 Dx2= 3
19,5 ¯39
der 2. Variablen x2 ergibt sich
+[ 2∙ 19,5] -[ 3 ∙ 13] =
0
Unendlich viele Lösungen liegen
vor da D = 0 und Dx1 = 0 und Dx2 = 0.
Beispiel xi
Î
R0
(I) x1 +3x2 +4x3 = 2 (II) 2x1 + x2 +3x3 = 1 (III) 5x1 +2x2 +7x3 = 4
20 6 42 1 3 4 1 3 D
= 2 1 3 2 1 = 7 +45
+16-20-6-42 = 0 5 2 7 5 2 ¯7 ¯45 ¯16
16 12 21 2 3 4 2 3 Dx1
= 1 1 3 1 1 = 14+36+8-16-12-21 =
9 4 2 7 4 2 ¯14 ¯36 ¯8
Keine Lösung existiert, also
L = { } da D = 0 und mindestens ein Dxi
mit Dx1 ¹ 0.
Angabe von Lösungen für den Fall, dass unendlich viele Lösungen vorliegen ( also D = Dxi
= 0 )
Nach Einführung von Parametern für überzählige
Variablen stellt man die notwendige Anzahl von
Gleichungen her und löst das System formal.
Beispiel xi
Î
R0
(I) 2x1 -
3x2 +4x3 = 1 (II) 3x1 + x2 -
5x3 = 7 (III) 7x1 -
5x2 +3x3 = 9
Unendlich viele Lösungen liegen vor da D = 0 und
Dx1 = Dx2 = Dx3 = 0.
Einführung eines Parameters ( zB. ) x3 = t Î R
Reduzierung der Anzahl der
notwendigen Gleichungen um eine Gleichung ( zB. )
Beispiel xi
Î
R0
(I) 2x1 -
3x2 +4t = 1 (II) 3x1 + x2 -
5t = 7
Formales Lösen des entstandenen
linearen Gleichungssystems
(I) 2x1 -
3x2 = 1- 4t (II) 3x1 + x2 = 7+5t
2 -3 D=
3 1
1.)Ermittlung der Koeffizientendeterminante
bei linearen Gleichungssystemen mit 2 Variablen
+[ 2∙ 1 ] -[ 3 ∙ (-3) ] =
11
2.)Ermittlung
der Determinante für die erste Variable ( Dx1 )
Nach dem Einsetzen der Spalte der Absolutglieder in die
Spalte für die Koeffizienten
1- 4t -3 Dx1= 7+5t 1
der 1. Variablen x1 ergibt sich
+[ (1-4t) ∙ 1 ] - [ (7+5t) ∙ (-3) ] =
22 + 11t
3.)Ermittlung
der Determinante für die zweite Variable ( Dx2 )
Nach dem Einsetzen der Spalte der Absolutglieder in die
Spalte für die Koeffizienten
2 1- 4t Dx2= 3
7+5t
der 2. Variablen x2 ergibt sich
+[ 2∙ (7+5t) ] -[ 3 ∙ (1-4t) ] =
11 + 22t
4.)Nach
der CRAMERschen Regel gilt somit x1 = 2 + t ;
x2 = 1 + 2t und damit
die allgemeine
Lösungsmenge L == { ( 2 + t / 1 + 2t / t ) } t Î R